Descripción

Este segundo volumen del libro “Analise Real” trata sobre funciones de n variables. Su lectura presupone naturalmente el conocimiento de las nociones básicas sobre funciones de variable, tal como se presentan en el primer volumen, o en un texto equivalente. el rio. Como en su antecesor, hemos tratado de presentar el material de tal manera que pueda ser cubierto en un curso que dure un semestre. Con esto en mente, tratamos de seguir una trayectoria objetiva, apuntando a los resultados más relevantes, sin preocuparnos por la generalidad extrema. El objetivo principal de la asignatura es el Cálculo Diferencial de funciones de R m (o un subconjunto de las mismas) en Rn y de integrales múltiples. Para lograrlo, en el capítulo inicial estudiamos las funciones continuas f : X / Rn , definidas sobre un subconjunto X / Rm y, para entenderlas mejor, analizamos las propiedades topológicas de estos subconjuntos.

A continuación, consideramos dos casos particulares (y particularmente interesantes) de Cálculo que queremos estudiar, a saber: caminos, que son aplicaciones continuas f : I / R n , definidas en intervalos I ? R y las funciones numéricas f : U / R , definida sobre conjuntos U / R m. Este segundo caso particular nos permite resaltar el importante concepto de vector gradiente, que se diluiría en el contexto general si no hubiéramos aislado el caso n = 1. Aún en el contexto de las funciones numéricas, tratamos por separado los casos de un solo función implícita, las hipercaras y el multiplicador de Lagrange.

Los Capítulos 5, 6 y 7 tratan del Cálculo Diferencial de las funciones f : U / R n , donde la derivada, que antes se veía como un vector (el gradiente), ahora aparece como una acción de transformada lineal. El resultado principal es el Teorema de la Función Inversa, del cual se derivan el Teorema de la Función Implícita y los multiplicadores de Lagrange. Al observar las funciones implícitas globalmente, llegamos a la noción de superficie diferenciable (de cualquier dimensión) en el espacio euclidiano y al cálculo diferencial en el mismo Los capítulos 8 y 9 tratan con integrales múltiples (en el sentido de Riemann), culminando con la demostración de la fórmula para el cambio de variables. El libro contiene 170 ejercicios, propuestos al final de cada capítulo.

El capítulo 10, el último del libro, contiene las soluciones completas para todos ellos. El lector debe considerarlos como un medio para verificar hasta qué punto ha asimilado el contenido de cada sección. Las soluciones que sugiero pueden ser bastante diferentes a las suyas, más simples o más complicadas de lo que imaginaba pero, sobre todo, deben verse como una ayuda que debe solicitarse solo después de intentar seriamente resolver el problema con sus propios recursos. Un tratamiento más extenso y completo de los temas aquí tratados se encuentra en el “Curso de An´alise”, vol. 2, que, sin embargo, es un libro demasiado largo para ser estudiado en un solo semestre. Al final, quisiera agradecer al profesor Hilário Alencar por la lectura de una versión preliminar, con la corrección de varios errores tipográficos, y al profesor Florencio Guimarães, por la revisión del manuscrito final.