Descripción

Continuando con los temas tratados en los dos volúmenes anteriores, en este libro presentamos integrales curvilíneas y de superficie. Tradicionalmente, las superficies sobre las que se calculan estas integrales son las contenidas en el espacio tridimensional. Esto permite integrar campos vectoriales. Sin embargo, si la codimensión de la superficie es mayor que 1 (aunque sea bidimensional), no tiene sentido integrar sobre ella un campo de vectores.

El objeto idóneo para colocarse bajo el signo integral es una forma diferencial, dado su carácter intrínseco, independientemente de la parametrización que se tome para representarla analíticamente. Otra gran ventaja de las formas sobre los vectores es su lado funcional, que se expresa de la siguiente manera: si f : M N es una función diferenciable de la superficie M sobre la superficie N, toda forma: en N corresponde a la forma f “en M” y la correspondencia f goza de propiedades simples, elegantes y útiles. (Esto es en realidad una formalización del antiguo concepto de variables cambiantes).

Los campos vectoriales, por otro lado, son rígidos. No se prestan a cambiar de variable, salvo en casos muy especiales. El Análisis Vectorial Clásico gira en torno a los llamados Teoremas Integrales, asociados a nombres ilustres como Gauss, Green, Stokes, Riemann, Ostrogradsky, etc. Con el uso de formas diferenciales (especialmente la diferenciación exterior debida a E. Cartan) todos estos teoremas se reducen a uno solo, conocido (bastante injustamente) como Teorema de Stokes, que se expresa de manera concisa y elegante en la forma R /M = R METRO re. Explicar el significado de la igualdad anterior, aclarar cada concepto involucrado en ella, dar algunas aplicaciones e ilustrar los diferentes usos de sus componentes es el principal objetivo de este libro.

Es casi innecesario aclarar que este pequeño trabajo contiene solamente una introducción a algunos temas relevantes, cuya presencia en el currículo universitario considero importante. Los temas presentados aquí se encontrarán más adelante en diferentes teorías matemáticas. Para la publicación de este libro conté con la colaboración de Francisco Petrúcio, quien se encargó de las figuras, Aryana Cavalcante, quien hizo una cuidadosa revisión, José Regis, quien revisó los dos primeros capítulos y Wilson Goes, quien tomó cuidado de la mecanografía.