Numerical Fourier Analysis – Gerlind Plonka, Daniel Potts, Gabriele Steidl, Manfred Tasche – 1st Edition

El análisis de Fourier ha crecido hasta convertirse en una herramienta matemática esencial con numerosas aplicaciones en matemáticas aplicadas, ingeniería, física y otras ciencias. Muchas innovaciones tecnológicas recientes, desde la espectroscopia y la tomografía computarizada hasta el procesamiento de señales de voz y música, se basan en el análisis de Fourier. Los algoritmos rápidos de Fourier son el corazón de los métodos de procesamiento de datos, y su impacto social difícilmente puede sobreestimarse.

El campo del análisis de Fourier se desarrolla continuamente hacia las necesidades de las aplicaciones, y muchos temas son parte de una investigación intensiva en curso. Debido a la importancia de las técnicas de Fourier, existen varios libros en el mercado que se centran en diferentes aspectos de la teoría de Fourier, como p. [28, 58, 72, 113, 119, 125, 146, 205, 219, 221, 260, 268, 303, 341, 388, 392], o en los algoritmos correspondientes de la transformada discreta de Fourier, véase, p. [36, 46, 47, 63, 162, 257, 307, 362], sin contar otras monografías sobre aplicaciones especiales y generalizaciones como wavelets [69, 77, 234]. Entonces, ¿por qué escribimos otro libro? Examinando los libros de texto existentes en el análisis de Fourier, parece como una deficiencia que el enfoque se establece solo en la teoría matemática o viceversa solo en los correspondientes algoritmos discretos de Fourier y de convolución, mientras que el lector necesita consultar referencias adicionales sobre las técnicas numéricas en en un caso o en el trasfondo analítico en el otro.

La necesidad urgente de una presentación unificada de la teoría de Fourier y los algoritmos correspondientes surge particularmente de los nuevos desarrollos en la aproximación de funciones usando métodos de Fourier. Es importante comprender qué tan bien se puede aproximar una señal continua empleando la transformada de Fourier discreta para datos espectrales muestreados. Una comprensión profunda de la aproximación de funciones mediante representaciones de Fourier es aún más crucial para derivar transformadas más avanzadas como la transformada rápida de Fourier no equiespaciada, que es un algoritmo aproximativo por naturaleza, o transformadas rápidas dispersas de Fourier en redes especiales en dimensiones más altas. Este libro abarca la teoría clásica de Fourier requerida en la primera parte para brindar una visión profunda de la construcción y el análisis de los algoritmos rápidos de Fourier correspondientes en la segunda parte, incluidos los desarrollos recientes sobre transformadas de Fourier rápidas dispersas y no equiespaciadas en dimensiones superiores.

En la tercera parte del libro, presentamos una selección de aplicaciones matemáticas que incluyen resultados de investigaciones recientes sobre la aproximación de funciones no lineales mediante sumas exponenciales. Nuestro libro comienza con dos capítulos sobre el análisis clásico de Fourier y el Cap. 3 sobre la transformada discreta de Fourier en una dimensión, seguido del Cap. 4 en el caso multivariado. Esta parte teórica proporciona los antecedentes para todos los capítulos posteriores y hace que el libro sea independiente. Los capítulos 5 a 8 se ocupan de la construcción y el análisis de los algoritmos rápidos correspondientes en el caso unidimensional y multidimensional. Mientras que el cap. 5 cubre las bien conocidas transformadas rápidas de Fourier, Caps. 7 y 8 se refieren a la construcción de las transformadas rápidas de Fourier no equiespaciadas y las transformadas rápidas de Fourier de alta dimensión en redes especiales.

El capítulo 6 está dedicado a las transformadas trigonométricas discretas y las expansiones de Chebyshev, que están estrechamente relacionadas con las series de Fourier. La última parte del libro contiene dos capítulos sobre aplicaciones de métodos numéricos de Fourier para mejorar la aproximación de funciones. Comenzando con las sectas. 5.4 y 5.5, el libro cubre muchos desarrollos recientes bien reconocidos en el análisis numérico de Fourier que no se pueden encontrar en otros libros de esta forma, incluidos los resultados de investigación de los autores obtenidos en los últimos 20 años. Esto incluye temas como:

• El análisis de la estabilidad numérica de la FFT radix-2 en la Secc. 5.5
• Transformadas trigonométricas rápidas basadas en factorizaciones de matrices ortogonales y transformadas polinómicas discretas rápidas en el Cap. 6
• Transformadas rápidas de Fourier y transformadas trigonométricas rápidas para datos no equiespaciados en el espacio y/o frecuencia en Seccs. 7.1–7.4
• Suma rápida en nodos no equiespaciados en la Secc. 7.5 Se pueden encontrar resultados de investigaciones más recientes en:
• FFT dispersa para vectores con presunta escasez en la Secc. 5.4
• FFT rápida dispersa de alta dimensión en redes de rango 1 en el Cap. 8
• Aplicaciones del análisis multiexponencial y método de Prony para la recuperación de funciones estructuradas en el Cap. 10 Un curso de introducción al análisis de Fourier en el nivel universitario avanzado puede, por ejemplo, construirse utilizando Sects. 1.2–1.4, 2.1–2.2, 3.2–3.3, 4.1–4.3 y 5.1–5.2. Suponemos que el lector está familiarizado con los conocimientos básicos sobre cálculo de funciones univariadas y multivariadas (incluidos los hechos básicos sobre integración de Lebesgue y análisis funcional) y sobre álgebra lineal numérica. Centrándose en una conferencia sobre aplicaciones y algoritmos rápidos discretos, se pueden consultar los Caps. 3, 5, 6 y 9. Los capítulos 7, 8 y 10 están en un nivel avanzado y requieren conocimientos previos de los capítulos. 1, 2 y 4.

Partes del libro están en un nivel avanzado y requieren conocimientos previos de los Caps. 1, 2 y 4. Otras partes del libro se basan en una serie de conferencias y seminarios impartidos por los autores a estudiantes de matemáticas, física, informática e ingeniería eléctrica. Los capítulos 1, 2, 3, 5 y 9 se basan parcialmente en material didáctico escrito por G. Steidl y M. Tasche que fue publicado en 1996 por la Universidad de Hagen con el título “Fast Fourier Transforms—Theory and Applications” (en inglés). Alemán).