Descripción

La resolución de un modelo matemático, mediante técnicas computacionales en general o más específicamente mediante el análisis numérico, se reduce finalmente a la resolución de problemas de álgebra lineal. De hecho, muy a menudo los modelos son lineales por su propia naturaleza, mientras que a veces son no lineales, pero su solución se logra mediante la linealización. Esto explica en cierta medida por qué el álgebra lineal numérica y el análisis matricial han experimentado un desarrollo tan extenso en las últimas décadas.

En este proceso, normalmente se encuentran problemas como resolver sistemas lineales o resolver problemas de valores propios estándar o generalizados, así como ecuaciones polinómicas matriciales o problemas de valores propios polinómicos, donde el tamaño de las matrices involucradas en el modelo es extremadamente grande o, en algunos casos, incluso infinito. . Para tales problemas, los algoritmos estándar (de propósito general) no pueden funcionar debido a su extrema complejidad, por lo tanto, uno tiene que explotar las propiedades específicas que se originan de las características peculiares del modelo.

En el lenguaje del álgebra lineal, estas propiedades se traducen en términos de estructuras que comparten las matrices involucradas en el modelo, a menudo, las matrices estructuradas se revelan de forma clara y parecen mostrar todas sus propiedades inmediatamente. A veces, sin embargo, las estructuras están ocultas y son difíciles de descubrir, y sus propiedades parecen difícilmente explotables. Su análisis y explotación no es solo un desafío, sino también un paso obligatorio que es necesario para diseñar algoritmos ad hoc altamente efectivos para la solución de problemas a gran escala desde aplicaciones. De hecho, los algoritmos de propósito general, por ejemplo, la eliminación gaussiana para resolver sistemas lineales, no se pueden usar para resolver problemas de gran tamaño, mientras que una explotación inteligente de las estructuras disponibles permite diseñar algoritmos de solución efectivos incluso para problemas de gran tamaño.

La importancia de las estructuras matriciales ha crecido a lo largo de los años. Analizar estructuras desde el punto de vista teórico, convertirlas en algoritmos de solución efectivos, construir software que implemente los algoritmos y verificar su efectividad mediante computación directa es uno de los desafíos más emocionantes que abarca la teoría abstracta, el diseño y análisis de algoritmos, la implementación de software y aplicaciones. Este volumen presenta una selección de artículos revisados por pares sobre el análisis de matrices estructuradas y sus aplicaciones. Los temas tratados se refieren a teoría, algoritmos y aplicaciones en las que intervienen matrices estructuradas.

Los temas van desde temas abstractos como la teoría de matrices de Toeplitz localmente generalizadas (bloques) y el análisis de subespacios de matrices y núcleos cuadráticos, hasta cuestiones más numéricas como el análisis de errores de algoritmos para la manipulación de tensores y el análisis de la derivada de medias geométricas de matrices. Además, se desarrollan otros temas de orientación estructurada, por ejemplo, el análisis de las matrices complementarias de lápiz y bloque de Fiedler, junto con el análisis del problema de valores propios simétricos tridiagonales, el cálculo de funciones de matrices bivariadas y la solución del problema del punto de silla. Entre las aplicaciones se encuentran el análisis de la estabilidad de los sistemas giroscópicos, la solución numérica de problemas de dispersión dura en 2D de ondas amortiguadas, ecuaciones fraccionarias de reacción-difusión y el problema de la reconstrucción de superresolución de múltiples cuadros a partir de videoclips.

Todos los trabajos corresponden a charlas presentadas en la reunión del INdAM Matrices estructuradas en álgebra lineal numérica: análisis, algoritmos y aplicaciones, celebrada en Cortona, Italia, del 4 al 8 de septiembre de 2017. Este taller tuvo como objetivo continuar en forma y espíritu la serie de conferencias sobre Matrices Estructuradas y sus aplicaciones celebradas en Cortona, Italia, cada 4 años entre 1996 y 2008 y continuaron en Lovaina, Bélgica, en septiembre de 2012 y en Kalamata, Grecia, en septiembre de 2014. El libro será de interés para los estudiantes de posgrado en matemáticas e investigadores en álgebra lineal, numérica y computación científica, así como ingenieros y matemáticos aplicados